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1976 Übersicht
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Aufgabe 1a:
In einer arithmetischen Reihe beträgt die Summe aus dem zweiten und fünften Glied 112 und die Summe aus dem dritten und achten Glied 144.
Berechne das Anfangsglied, die Differenz und die Summe der ersten zehn Glieder dieser Reihe.
4 P
Aufgabe 1b:
In einer arithmetischen Reihe mit und ist die Summe der ersten n Glieder fünfmal so groß
wie das Glied .
Bestimme n, und dieser Reihe.
4 P
Aufgabe 1c:
Addiert man zu jedem Glied einer arithmetischen Reihe, in der und ist, eine Zahl c, so entsteht
eine neue arithmetische Reihe mit , ,   usw.
Ermittle, für welches c die Beziehung gilt.
3 P
Aufgabe 2a:
Entscheide, ob es sich bei diesen Zahlenfolgen um arithmetische Folgen oder geometrische Folgen handelt:
 
Bestimme jeweils d bzw. q und ergänze jede Zahlenfolge um die folgenden zwei Glieder.
4 P
Aufgabe 2b:
Eine arithmetische Reihe mit der Differenz d = 5 und eine geometrische Reihe haben beide das Anfangs-
glied 2, gleich viele Glieder und dasselbe Endglied 52.
Berechne sowohl den Quotienten als auch die Summe der geometrischen Reihe.
4 P
Aufgabe 2c:
Die Differenz des dritten und ersten Gliedes einer geometrischen Reihe beträgt 40v, die Summe des
zweiten und ersten Gliedes ist 20v.
1. Berechne , wenn gilt.
2. Für welche Zahl v wird die Summe der ersten 5 Glieder dieser Reihe 4235?
3 P
Aufgabe 3a:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit = 1cm) ist ein Dreieck durch die Eckpunkte
, und gegeben.
Zeichne das Dreieck.
1 P
Aufgabe 3b:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit = 1cm) ist ein Dreieck durch die Eckpunkte
, und gegeben.
Berechne die Seiten a, b, c und die Winkel , , dieses Dreiecks.
3 P
Aufgabe 3c:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit = 1cm) ist ein Dreieck durch die Eckpunkte
, und gegeben.
Das Dreieck rotiert um die Achse , bestimme das Volumen des Drehkörpers.
3 P
Aufgabe 3d:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit = 1cm) ist ein Dreieck durch die Eckpunkte
, und gegeben.
Um einen Punkt wird ein Kreis mit r = 5cm beschrieben.
Dieser Kreis schneidet aus dem Dreieck eine Kreisabschnittsfläche heraus.
Berechne die Restfläche des Dreiecks ABC.
3 P
Aufgabe 3e:
Ein Dreieck ABC' ist durch die Eckpunkte , und gegeben,
wobei gilt.
Das Dreieck rotiert um eine Achse, die parallel zur x-Achse durch den Punkt C' verläuft.
1. Berechne das Volumen des Drehkörpers.
2. Für welchen Wert a beträgt das Volumen des Drehkörpers ?
3 P
Aufgabe 4a:
Von einem Trapez sind die Längen der Strecken , und , sowie die Höhe bekannt.
Zeichne das Trapez.
1 P
Aufgabe 4b:
Von einem Trapez sind die Längen der Strecken , und , sowie die Höhe bekannt.
Berechne die Länge der Diagonalen .
2 P
Aufgabe 4c:
Von einem Trapez sind die Längen der Strecken , und , sowie die Höhe bekannt.
Wie groß ist der Flächeninhalt des Trapezes?
1 P
Aufgabe 4d:
Von einem Trapez sind die Längen der Strecken , und , sowie die Höhe bekannt.
Verlängert man über D hinaus und über C hinaus, so schneiden sich die Verlängerungen in F.
Berechne sowohl die Höhe des Dreiecks ABF als auch die Größe des Winkels .
2 P
Aufgabe 4e:
Von einem Trapez sind die Längen der Strecken , und , sowie die Höhe bekannt.
Eine Parallele zu durch D schneidet in G und in H.
1. Wie lang ist die Strecke , und in welchem Verhältnis steht sie zur Strecke ?
2. Wie groß ist die Höhe des Dreiecks AGH, und in welchem Verhältnis steht sie zur Höhe des Dreiecks ABC?
3. Welchen Inhalt haben die Flächen und der Dreiecke ABC und AGH, und in welchem Verhältnis stehen sie zueinander?
3 P
Aufgabe 5a:
Von einem Dreieck sind die Winkel und , sowie die Seite gegeben.
Konstruiere das Dreieck ABC und den Umkreismittelpunkt M.
Berechne die Seiten und , sowie die Länge des Umkreisradius r.
4 P
Aufgabe 5b:
Von einem Dreieck sind die Winkel und , sowie die Seite gegeben.
Außerhalb des Dreiecks ABC liegt ein Punkt D mit .
Berechne die Strecke .
4 P
Aufgabe 5c:
Von einem Dreieck sind die Winkel und , sowie die Seite gegeben.
Außerhalb des Dreiecks ABC liegt ein Punkt D mit .
Die Gerade schneidet in E.
Begründe, weshalb D und M auf der Mittelsenkrechten von liegen, und berechne sowohl den Umfang als
auch den Inhalt des Dreiecks ADE.
3 P
Aufgabe 6a:
Ein quaderförmiges Gefäß mit quadratischer Grundfläche faßt genau 1 Liter.
Berechne die Höhe h des Gefäßes, wenn die Grundkante mißt.
1 P
Aufgabe 6b:
Ein quaderförmiges Gefäß mit quadratischer Grundfläche faßt genau 1 Liter.
Das Gefäß ist ganz mit Wasser gefüllt.
Wieviel Prozent der Wassermenge verdrängt eine voll eingetauchte Kugel , wenn diese möglichst
groß sein soll?
2 P
Aufgabe 6c:
Ein quaderförmiges Gefäß mit quadratischer Grundfläche faßt genau 1 Liter.
Das Gefäß ist halb mit Wasser gefüllt.
Um wieviel Zentimeter steigt der Wasserspiegel, wenn eine Kugel mit dem Radius voll
eingetaucht wird?
3 P
Aufgabe 6d:
Welches Raumverhältnis besteht zwischen einem Würfel mit der Kantenlänge und einer Kugel
mit dem Radius ?
2 P
Aufgabe 7a:
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt die Katheten und .
Bei der Rotation um Kathete erzeugt es einen Drehkörper mit dem Volumen und der Mantelfläche ,
bei der Rotation um Kathete erzeugt es einen Drehkörper mit dem Volumen und der Mantelfläche .
In welchem Verhältnis stehen die beiden Rauminhalte, und wie groß sind die beiden Mantelflächen?
4 P
Aufgabe 7b:
Ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse und der Höhe rotiert um die Hypotenuse.
1. Wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers, wenn und sind?
2. Wenn ist, wie groß muss dann sein, damit das Volumen genau wird?
4 P
Aufgabe 7c:
In einem spitzwinkligen Dreieck ABC sind die Winkel und , sowie die Höhe
gegeben.
Wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers, das bei Drehung um entsteht?
3 P
Aufgabe 8a:
Von einem quadratischen Pyramidenstumpf sind die Länge der Grundseite , die Länge der
Deckkante und die Länge der Seitenkante bekannt.
Wie groß ist das Volumen dieses Pyramidenstumpfes?
4 P
Aufgabe 8b:
Ein quadratischer Pyramidenstumpf mit den Maßen , und wird zur Pyramide ergänzt.
1.  Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes. 
2.  Berechne sowohl die Höhe als auch das Volumen der Ergänzungspyramide. 
3.  In welchem Verhältnis stehen Körperhöhen und Rauminhalte beider Körper? 
4 P
Aufgabe 8c:
Einem quadratischen Pyramidenstumpf mit den Maßen , und
wird eine Kugel umbeschrieben.
Wie groß sind der Radius und das Volumen dieser Umkugel? 
3 P