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1978 Übersicht
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Aufgabe 1a:
Addiert man zum zweiten Glied einer arithmetischen Reihe das zehnte Glied, so erhält man 5.
Subtrahiert man vom vierten Glied derselben Reihe das zehnte Glied, dann erhält man 21.
Die Reihe hat 12 Glieder.
Berechnen Sie d, , und .
4 P
Aufgabe 1b:
In einer arithmetischen Reihe ist die Summe aus dem vierten und sechsten Glied um 1 kleiner als das achte Glied.
Das achte Glied ist das Siebenfache des dritten Gliedes.
Ermitteln Sie d und .
Berechnen Sie n für den Fall, dass die Summe aller Glieder 312 beträgt.
4 P
Aufgabe 1c:
Eine arithmetische Reihe mit elf Gliedern besitzt die Summe . Außerdem ist .
Streicht man die letzten fünf Glieder dieser Reihe, so muss zu jedem Glied der verbleinenden Reihe eine
bestimmte Zahl k addiert werden, damit der Wert der ursprünglichen Summe erhalten bleibt.
Bestimmen Sie die Zahl k.
3 P
Aufgabe 2a:
Dividiert man das fünfte Glied einer steigenden geometrischen Reihe durch das zweite Glied, so erhält man 27.
Die Summe aus dem dritten und vierten Glied beträgt 72.
Berechnen Sie und dieser Reihe sowie das achte Glied.
Bestimmen Sie die Summe der ersten neun Glieder dieser Reihe.
4 P
Aufgabe 2b:
In einer fallenden geometrischen Reihe ist das Anfangsglied und das fünfte Glied .
Berechnen Sie .
Stellen Sie die Reihe bis zum sechsten Glied auf.
Eine neue geometrische Reihe entsteht dadurch, dass man bei gleichem Anfangsglied als Quotient den Kehrwert des oben berechneten verwendet.
Wieviele Glieder muss man von dieser Reihe mindestens addieren, damit ihre Summe größer als 100000 wird?
4 P
Aufgabe 2c:
In einer geometrischen Reihe ist der Quotient .
Das Produkt aus dem zweiten und dritten Glied ist gleich dem Quotienten .
Zeigen Sie, dass gilt: .
 Für welchen Wert von b wird das vierte Glied der Reihe 50?
3 P
Aufgabe 3a:
Von einem gleichschenkligen Trapez ABCD sind die Grundseite , die Diagonale
und der Winkel bekannt.
Berechnen Sie den Winkel , die Höhe und die fehlenden Seiten des Trapezes.
4 P
Aufgabe 3b:
Über der Seite eines gleichschenkligen Trapezes ABCD mit , und dem Winkel ist ein Kreisbogen gezeichnet mit als Sehne. Der Mittelpunkt des dazugehörigen Kreises liegt im Mittelpunkt M der Seite a.
Berechnen Sie den Radius des Kreisbogens und den Umfang der Gesamtfigur.
4 P
Aufgabe 3c:
Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit , und dem Winkel .
Leiten Sie Formeln zur Berechnung von Inhalt und Umfang des Trapezes in Abhängigkeit von e und her.
Welchen Wert nimmt e an, wenn die Fläche des Trapezes und der Winkel betragen?
3 P
Aufgabe 4a:
Von einem Dreieck ABC sind , und der Winkel
gegeben.
Berechnen Sie die Strecke und , die Seite und den Winkel .
Auf liegt ein Punkt E mit .
Welchen Abstand (kürzeste Entfernung) hat dieser Punkt von ?
4 P
Aufgabe 4b:
Berechnen Sie im Dreieck ABC mit , und dem Winkel
die Länge der Seitenhalbierenden und den Winkel .
Die Seitenhalbierende schneidet die Winkelhalbierende des Winkels in F.
Berechnen Sie .
4 P
Aufgabe 4c:
In dem Dreieck ABC mit , und dem Winkel soll auf
der Höhe ein Punkt derart bestimmt werden, dass der Winkel beträgt.
Zeichnen Sie das Dreieck ABC maßstabgerecht, konstruieren Sie den Punkt und berechnen Sie den Ab-
stand (kürzeste Entfernung) e des Punktes vom Punkt D auf .
3 P
Aufgabe 5a:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit 1 cm) ist ein Viereck ABCD durch , , und gegeben.
Die Figur rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie die Oberfläche des entstehenden Rotationskörpers.
4 P
Aufgabe 5b:
Die Figur aus Aufgabe 5a rotiert 1. um die x-Achse und 2. um die y-Achse.
In welchem Verhältnis stehen die Rauminhalte beider Rotationskörper?
(Geben Sie das Verhältnis in der Form an.)
4 P
Aufgabe 5c:
Ein Viereck hat in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit 1 cm) die Eckpunkte ,
, und ; .
Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, den man durch Drehung der Figur um die y-Achse erhält, in Abhängigkeit von a.
Welche Form hat dieser Drehkörper, wenn 1.) a zwischen 6 und 10 liegt, 2.) a gleich 6 und 3.) a = 0 ist?
Welchen Wert hat a, wenn das Volumen des Drehkörpers beträgt?
3 P
Aufgabe 6a:
Ein quadratisches Prisma mit ist hoch. Aus diesem Prisma wird eine Pyramide so herausgearbeitet, dass sich das Volumen des Prismas um ein Achtel vermindert.
Berechnen Sie das Volumen und die Höhe der Pyramide.
Welche Oberfläche weist das Prisma nach Herausarbeitung der Pyramide auf?
4 P
Aufgabe 6b:
Einem quadratischen Prisma mit und wird der größtmögliche Kegel, diesem Kegel
die größtmögliche Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche einbeschrieben.
Berechnen Sie das Volumen und die Mantelfläche des Kegels, außerdem das Volumen der Pyramide.
4 P
Aufgabe 6c:
Einem quadratischen Prisma mit und der Höhe h wird eine Kugel umbeschrieben.
Leiten Sie eine Formel für die Oberfläche dieser Kugel in Abhängigkeit von h her.
In welchem Verhältnis stehen die Oberflächen des Prismas und der Kugel für ?
Geben Sie das Verhältnis in der Form an.
3 P
Aufgabe 7a:
1. Logarithmieren Sie den Term und berechnen Sie seinen Wert für a = 100 und b = 25.
2. Für welche Basis b gilt ?
  Bestimmen Sie x aus .
3. Weisen Sie nach, dass gilt. 
4. Drücken Sie durch den Logarithmus jeweils eines Termes aus: 
 
  und 
 
4 P
Aufgabe 7b:
Gegeben ist ein Graph der Funktion mit .
1. Entnehmen Sie beliebige Wertepaare und bestimmen Sie damit a.
2. Übertragen Sie obenstehende Zeichnung und erzeugen Sie punktweise den Graphen der Umkehrfunktion.
  Geben Sie deren Funktionsgleichung an.
3. Vervollständigen Sie diese Wertetafel, indem Sie die fehlenden Funktionswerte dem Graphen der Umkehrfunktion entnehmen.
 
x 4    
y 0
4 P
Aufgabe 7c:
Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen: 
1. 
2. 
3. 
3 P
Aufgabe 8a:
1.  Bestimmen Sie für die Winkel und das Bogenmaß. 
2.  Ermitteln Sie und aus der Zahlentafel.
3.  Berechnen Sie für alle Lösungen der Aussageform . 
4.  Beweisen Sie, dass gilt. 
4 P
Aufgabe 8b:
1. 
Drücken Sie die Abhängigkeit der Standbreite b einer Stehleiter (siehe nebenstehende Skizze) von der Länge und dem Öffnungswinkel durch eine Formel aus.  
 
2.  Tabellieren Sie für im Intervall die Abhängigkeit der Standbreite b vom Winkel in Schritten von .
  Stellen Sie diese Abhängigkeit der Standbreite b von der Winkelgröße in einem rechtwinkligen Koordinatensystem graphisch dar (Ordinate: ;  Abszisse: ).
3.  Bestimmen Sie mit Hilfe des Graphen den Öffnungswinkel , der zur Standbreite gehört.
4 P
Aufgabe 8c:
Eine Kreissehne hat die Länge 1,7976 LE. Zu ihr gehört ein Mittelpunktswinkel .
Bestimmen Sie den Radius r des Kreises.
Der Mittelpunkt dieses Kreises sei M. ABM bildet ein Dreieck.
Bestimmen Sie die Dreieckshöhe h auf sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Stellen Sie eine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ABM im Bereich in Abhängigkeit von für auf.
3 P